Dokazati teoreme:
U ravnokrakom trouglu jednake su: dve srednje linije, dve simetrale ugla i dve visine.
Ako se iz sredine svake od jednakih strana u ravnokrakom trouglu podignu normale do preseka s drugom od jednakih strana, onda su dobijene normale jednake.
Prava normalna na simetrali ugla gradi na njegovim stranama jednake otsečke.
Srednja linija u trouglu manja je od njegovog poluobima.
Srednja linija u trouglu manja je od poluzbira strana između kojih se ona nalazi.
Uputstvo: Produžiti srednju liniju za njenu dužinu i spojiti dobijenu tačku s krajnjom tačkom strane prema kojoj je povučena srednja linija; zatim razmotriti dobijenu sliku.
Zbir srednjih linija u trouglu manji je od obima, a veći od poluobima trougla.
Uputstvo: Vidi poslednje vežbanje a isto tako posledicu § 50.
Zbir dijagonala u svakom četvorouglu manji je od obima a veći od poluobima.
Dokazati kao pravu teoremu da svaka tačka koja ne leži na simetrali duži nije podjednako udaljena od krajnjih tačaka duži i da je bliža krajnjoj tački s kojom se nalazi s jedne strane od normale.
Dokazati kao pravu teoremu da svaka tačka van simetrale ugla nije podjednako udaljena od njegovih strana.
Srednja linija u trouglu podjednako je udaljena od dva druga trouglova temena.
Na jednoj strani ugla A uzete su duži AB i AC, a na drugoj strani AB'=AB i AC'=AC; dokazati da se duži BC' i B'C seku na simetrali ugla.
Izvesti na osnovu prethodnog vežbanja način konstrukcije simetrale ugla.
Ako su A' i A, B i B' dva para tačaka simetričnih prema kakvoj osi XY, onda ove četiri tačke leže na kružnoj liniji.
Dat je oštar ugao XOY i tačka A u njegovoj unutrašnjosti. Odrediti na straii OX tačku B a na strani OY tačku C tako da obim △ABC bude najmanji.
Uputstvo: Treba uzeti tačke koje su simetrične tački A prema stranama OX i OY.
Konstruktivni zadaci
Konstruisati zbir dva, tri i više uglova.
Konstruisati razliku dva ugla.
Odrediti dva ugla kad je dat njihov zbir i razlika.
Podeliti ugao na 4, 8 i 16 jednakih delova.
Kroz teme datog ugla povući van njega pravu koja sa stranama ugla čini jednake uglove.
Konstruisati trougao kad je dato: a) dve strane i zahvaćeni ugao; b) strana i dva nalegla ugla; c) dve strane i ugao naspram veće od njih; d) dve strane i ugao naspram manje od njih (zadatak ima jedno ili dva rešenja, ili nema nijednog rešenja).
Konstruisati ravnokraki trougao kad je dato: a) osnovica i krak; b) osnovica i nalegli ugao; c) krak i ugao pri vrhu; d) krak i ugao na osnovici;
Konstruisati pravougli trougao kad je dato: a) obe katete; b) kateta i hipotenuza; c) kateta i nalegli oštar. ugao.
Konstruisati ravnokraki trougao kad je dato: a) visina i krak; b) visina i ugao pri vrhu; c) osnovica i visina prema bočnoj strani.
Konstruisati pravougli trougao kad je data hipotenuza i oštar ugao.
Kroz tačku u unutrašnjosti ugla povući pravu koja na stranama ugla gradi jednake delove.
Odrediti dve duži kad je poznat njihov zbir i razlika.
Datu duž podeliti na 4, 8 i 16 jednakih delova.
Na datoj pravoj naći tačku koja je podjednako udaljena od dve date tačke (tačke ne leže na pravoj).
Naći tačku koja je podjednako udaljena od sva tri temena u trouglu.
Na pravoj koja seče strane ugla odrediti tačku podjednako udaljenu od strana ugla.
Odrediti tačku podjednako udaljenu od sve tri strane u trouglu.
Na neograničenoj pravoj AB naći tačku C, tako da poluprave CM i CN povučene iz C kroz date tačke M i N koje leže s jedne strane AB grade s polupravama CA i CB jednake uglove.
Uputstvo: Konstruisati tačku M' simetričnu M prema AB i spojiti M' s N.
Konstruisati pravougli trougao kad je data jedna kateta i zbir hipotenuze i druge katete.
Konstruisati trougao kad je data osnovica, nalegli ugao na osnovici i razlika dveju drugih strana (razmotriti dva slučaja: 1) kada je dat manji ugao na osnovici; 2) kada je dat veći ugao na osnovici).
Uputstvo: Vidi zadatak § 68.
Konstruisati pravougli trougao kad je data jedna kateta i zbir hipotenuze i druge katete.
Dat je ugao A i tačke B i C (jedna s jedne, a druga s druge strane ugla). Naći: 1) tačku M podjednako udaljenu od strana ugla, a da MC = MB; 2) tačku N podjednako udaljenu od strana ugla tako da je NC=CB.
U blizini železničke pruge nalaze se dva sela A i B. Odrediti na pruzi (koja ide u pravolinijskom pravcu) mesto koje je podjednako udaljeno od A i B.
Dat je ugao A i tačka B na jednoj njegovoj strani. Odrediti na drugoj strani tačku C tako da zbir CA i CB bude jednak datoj duži l.