Merenje uglova

Centralni uglovi u odnosu prema njima odgovarajućim lucina imaju ove dve osobine:

U jednom krugu ili u jednakim krugovima:

1. Ako su centralni uglovi jednaki, onda su jednaki i odgovarajući kružni lukovi.

2. Obrnuto: Ako su lukovi jednaki, onda su jednaki i odgovarajući centralni uglovi.

Neka je ∢AOB=∢COD (sl. 17); dokažimo de su lukovi AB i CD takođe jednaki. Zamislimo da se isečak AOB okreće oko centra O u pravcu obeleženom strelicom sve dotle dok poluprečnik OA ne poklopi OC. Tada, zbog jednakosti uglova, poluprečnik OB ima da poklopi OD; znači, da će se poklopiti i lukovi AB i CD, tj. oni će biti jednaki.

Druga osobina lako se može dokazati poklapanjem.

18. Kružni i ugaoni stepen

Pretpostavimo da je jedna kružna linija podeljena na 360 jednakih delova i da su sve deone tačke spojene s centrom. Tada će se oko centra dobiti 360 centralnih uglova koji su jednaki, pošto im odgovaraju jednaki lukovi. Svaki od dobijenih na kružnoj liniji na ovaj način kružnih lukova zove se lučni stepen, a svaki od dobijenih u centru uglova zove se ugaoni stepen. Znači, može da se kaže da je lučni stepen 360-ti deo kružne linije, a ugaoni stepen je centralni ugao koji odgovara lučnom stepenu.

Stepen (lučni i ugaoni) se deli na 60 jednakih delova koji se zovu minuti, a minuti se dele na 60 jednakih delova koji se zovu sekunde.

U upotrebi je i dekadni sistem merenja uglova i lukova; u ovom sistemu jedinica za merenje luka je grad koji iznosi stoti deo četvrtine kružne linije, minut je stoti deo grada, a sekunda je stoti deo minuta.

19. Odnos između centralnih uglova i lukova

Neka je AOB jedan ugao (sl. 18). Opišimo između njegovih strana luk CD proizvoljnog poluprečnika s centrom u temenu O; tada će ugao AOB postati centralni ugao koji odgovara luku CD. Neka kružni luk ima sedam lučnih stepena (na sl. su stepeni uvećani). Ako se deone tačke spoje s centrom, onda je očevidno da će se ugao AOB podeliti na sedam ugaonih stepena. Uopšte može se reći da se ugao meri odgovarajućim kružnim lukom, što znači da ugao sadrži onoliko ugaonih stepena, minuta i sekunada, koliko odgovarajući kružni luk ima lučnih stepena, minuta i sekunada. 

Ako, na primer, luk CD sadrži dvadeset stepeni deset minuta i petnaest sekunada lučnih, onda će ugao AOB sadržati dvadeset stepeni deset minuta i petnaest sekunada ugaonih, što se skraćeno ovako piše:

∢AOB=20° 10' 15", označujući znacima °, ' i " stepene, odnosno minute i sekunde.

Veličina ugaonog stepena ne zavisi od dužine poluprečnika. Zaista, ako se saberu 360 ugaonih stepeni po pravilu § 15, onda će se dobiti puni ugao u centru kružne linije. Ma koliki je poluprečnik kružne linije, ovaj će puni ugao biti uvek isti. A to znači da je ugaoni stepen 360 deo punog ugla. Ovo je mera ugla koja potpuno određuje njegovu veličinu nezavisno od dužine poluprečnika. Broj ugaonih stepeni.u uglu pokazuje nagib jedne ugaone strane prema drugoj.

20. Uglomer

Za merenje uglova služi naročita sprava - Uglomer. Ovu sprave (Sl. 19) čini polukrug čiji je luk podeljen na 180 stepeni. Da bi se izmerio ugao DCE, treba položiti uglomer na ugao tako da se centar polukruga poklopi sa temenom ugla i da poluprečnik CB poklopi stranu CE. Tada će broj stepeni luka zahvaćenog stranama ugla DCE odrediti njegovu veličinu. Pomoću uglomera može da se nacrta ugao koji sadrži određeni broj stepeni.

21. Prav, oštar i tup ugao

Ugao od 90° - polovina ravnog ili četvrtina punog ugla - zove se prav ugao; ugao manji od pravog ugla zove se oštar, a ugao veći od pravog ugla tup ugao (sl. 20).

Razume se da su svi pravi uglovi, pošto sadrže isti broj stepeni, jednaki među sobom.

Veličina pravog ugla se često obeležava slovom d (početno slovo francuske reči droit, što znači  "prav").