22. Uporedni uglovi i njihove osobine
Dva ugla (AOB i BOC, sl. 21) zovu se uporedni ako imaju jednu zajedničku stranu, a dve druge su produžetak jedna druge.
Pošto zbir dva takva ugla daje ravan ugao, to zbir dva uporedna ugla iznosi 180° (jednak je zbiru dva prava ugla).
Svakome uglu možemo konstruisati dva uporedna ugla. Na primer, produženjem strane AO ugla AOB (sl. 22) dobija se jedan uporedni ugao BOC, a produženjem strane BO - drugi uporedni ugao AOD. Uglovi BOC i AOD kao uporedni s uglom AOB jednaki su među sobom pošto svaki od njih dopunjuje ugao AOB do 180°.
Ako je ugao AOB prav (sl. 23), tj. ako on sadrži 90°, onda svaki od uporednih sa njim uglova COB i AOD mora biti takođe prav, pošto sadrži 180°-90°, tj. 90°; četvrti ugao COD biće takođe prav, pošto zbir uglova AOB, BOC i ACD iznosi 270°, a prema tome za četvrti ugao COD od 360° ostaje 90°. Na taj način: ako se dve prave (AC i BD, sl. 23) seku i jedan od četiri dobijena ugla je prav, onda će i ostala tri ugla biti pravi uglovi.
23. Normala i kosa prava
Zajednička strana (OB) dva nejednaka uporedna ugla zove se kosa prava prema pravoj (AC) na kojoj leže dve druge strane (sl. 24); ako su uporedni uglovi jednaki, tj. ako je svaki od njih prav ugao, zajednička strana se zove normala prema pravoj na kojoj leže dve druge strane (sl. 25). Zajedničko teme (O) se u prvom slučaju zove podnožna tačka kose prave, a u drugom slučaju — podnožje normale.
Dve prave (AC i BD, sl. 23) koje se seku pod pravim uglom zovu se uzajamno normalne prave. Da je prava AC normalna na pravoj BD beleži se ovako: AC⊥BD.
Napomene:
Ako se normala na pravu AC (sl. 25) povlači iz tačke O koja leži na pravoj, onda se kaže da normalu treba „podići“ prema pravoj AC; ako se normala povlači iz tačke B koja leži van prave, kaže se da normalu treba „spustiti“.
Očigledno je da se iz jedne tačke prave može podići normala prema pravoj i to samo jedna.
24. Dokažimo: Iz svake tačke van prave može se spustiti normala i to samo jedna.
Neka je data prava AB (sl. 26) i tačka M van te prave; treba dokazati da se iz te tačke može spustiti normala na pravu AB i to samo jedna. Pretpostavimo da smo presavili sliku po pravoj AB, tako da gornji deo poklapa donji deo. Tada će tačka M zauzeti neki položaj N. Zabeležimo taj položaj, vratimo sliku u prethodno stanje i spojimo jednom pravom tačke M i N. Sada ćemo se uveriti da je dobijena prava MN normala na pravu AB, a svaka druga prava koja polazi iz tačke M, na primer MD, nije normala prema AB. Radi dokaza ponovo presavijamo sliku.
Sada će tačka M pasti u tačku N a tačke C i D ostaju na svome mestu; znači, prava MC poklapa NC, a MD poklapa ND. Iz ovoga sleduje da je ∢MCB=∢BCN a ∢MDC=∢CDN. Uglovi MCB i BCN su uporedni jednaki uglovi i prema tome svaki od njih je prav ugao, što nama dokazuje da je MN⊥AB. Linija MDN nije prava (pošto ne postoje dve razne prave koje spajaju tačke M i N) i prema tome zbir jednakih uglova MDC i CDN ne iznosi 2d; stoga ugao MDC nije prav, a to znači da prava MD nije normala na pravu AB. Na taj način smo dokazali da se iz tačke M ne može spustiti druga normala na pravu AB.
25. Trouglasti lenjir
Za konstrukciju normale prema datoj pravoj vrlo je podesan trouglasti lenjir čiji je jedan ugao prav. Da se povuče normala na pravu AB (sl. 27) kroz tačku C na pravoj ili kroz tačku D koja leži van prave, treba pravi lenjir jednom ivicom prisloniti uz pravu AB, a zatim trouglasti lenjir položiti na pravi lenjir. Kad se to učini, ima samo da se pusti trougao da klizi po lenjiru, dok druga strana pravog ugla ne prođe kroz tačku C ili D; onda se povlači prava CE.
26. Unakrsni uglovi i njihova osobina
Dva ugla se zovu unakrsni ako su strane jednoga produženja strana drugoga. Dve prave AB i CD (sl. 28) koje se seku čine dva para unakrsnih uglova: AOD i COB, AOC i DOB (i četiri para uporednih uglova).
Unakrsni uglovi su jednaki (na primeru ∢AOD=∢BOC), pošto je svaki od njih uporedan s jednim istim uglom (s ∢DOB ili s ∢AOC), a takvi su uglovi, kao što smo videli (§ 22), jednaki.
27. Napomene o uglovima sa zajedničkim temenom
Za uglove sa zajedničkim temenom korisno je da se zapamte sledeće proste istine:
Ako zbir od nekoliko uglova (AOB, BOC, COD i DOE, sl. 29) sa zajedničkim temenom daje ravan ugao, znači da on iznosi 2d, tj. 180°.
Ako zbir nekoliko uglova (AOB, BOC, COD, DOE, EOA, sl. 30) sa zajedničkim temenom daje pun ugao, znači da on ima 4d, tj. 360°.
Ako dva ugla (AOB i BOC, sl. 24) imaju zajedničko teme (O) i zajedničku stranu (BO) i u zbiru daju 2d (tj. 180°), onda su im dve druge strane produženje jedna druge (tj. uglovi su uporedni).
