38. Teoreme.
1) U ravnokrakom trouglu simetrala ugla pri vrhu istovremeno je i srednja linija i visina.
2). U ravnokrakom trouglu uglovi na osnovici su jednaki.
Neka je △ABC ravnokraki i prava BD polovi ugao B pri vrhu (sl. 44). Treba dokazati da je simetrala ugla B takođe i sredna linija i visina.
Zamislimo da se △ABD obrće oko strane BD, kao oko ose, sve dok ne padne na △BDC. Tada će, zbog jednakosti uglova 1 i 2, strana AB poklopiti BC, a zbog jednakosti ovih strana, tačka A pašće u C. Stoga će se DA poklopiti s DC, ugao 4 s uglom 3 i ugao 5 s uglom 6; znači DA = DC ∢4=∢3 i ∢5=∢6. Iz jednakosti DA i DC sleduje da je BD srednja linija; iz konstatacije da su uglovi 3 i 4 jednaki sleduje da su oni pravi i, prema tome, BD je trouglova visina; i, najzad, uglovi 5 i 6 na osnovici su jednaki.
39. Posledica. Vidimo da u ravnokrakom trouglu ABC (sl. 44) jedna ista prava BD ima 4 osobine: simetrala ugla pri vrhu, srednja linija povučena prema osnovici, visina spuštena na osnovicu i, najzad, normala prema osnovici iz njene sredine. Pošto svaka od ovih osobina potpuno određuje položaj prave BD, to postojanje jedne od njih povlači i ostale. Na primer, visina spuštena na osnovicu ravnokrakog trougla istovremeno je simetrala ugla pri vrhu, srednja linija povučena prema osnovici i normala na osnovici podignuta iz njene sredine.
40. Simetrija ravnokrakog trougla. Videli smo da je ravnokraki trougao ABC (sl. 44) simetralom ugla B podeljen na takva dva trougla (levi i desni), koji se mogu obrtanjem oko simetrale ugla poklopiti.
Iz ovoga se može zaključiti da ma kojoj tački jedne polovine ravnokrakog trougla odgovara po jedna simetrična tačka druge polovine, simetrična prema BD. Uzmimo, na primer, tačku M na strani AB (sl. 44). Spustimo iz nje na BD normalu i produžimo normalu do preseka sa stranom BC. Na taj način ćemo dobiti tačku M', simetričnu tački M prema osi BD. Zaista, ako △ABD obrtanjem oko BD dovedemo do poklapanja sa △BCD, onda će KM poklopiti KM' (zbog jednakosti pravih uglova), a strana BA poklopiće stranu BC (zbog jednakosti uglova 1 i 2 pri vrhu); znači da će tačka M, koja leži na KM i na BA, pasti u tačku M', koja leži na KM' i na BC. Odavde se vidi da je KM=KM'. Prema tome tačke M i M' leže na raznim stranama simetrale ugla BD, na normali prema njoj i na istom otstojanju od podnožja normale; znači da su tačke simetrične prema osi BD. Iz ovoga sleduje da simetrala ugla pri vrhu ravnokrakog trougla jeste njegova osa simetrije.