Pravila o podudarnosti trouglova

Podudarni trouglovi moraju da imaju sve odgovarajuće elemente jednake, tj. strane, uglove, visine, srednje linije i simetrale uglova. Međutim, da bi se utvrdila podudarnost dva trougla, nije nužno da se utvrđuje jednakost svih elemenata, već je dovoljno da se konstatuje jednakost nekih od njih.

42. Tri pravila o podudarnosti trouglova

1. Dva su trougla podudarna ako imaju jednake po dve strane i uglove zahvaćene tim stranama.

2. Dva su trougla podudarna ako imaju jednaku jednu stranu i dva nalegla ugla.

3. Dva su trougla podudarna ako su strane jednoga trougla jednake stranama drugog trougla.

1) Neka ABC i A₁B₁C₁ - dva trougla (sl. 45), kod kojih

 AC=A₁C₁, AB=A₁B₁,  ∢A=∢A₁.

Treba dokazati da su trouglovi podudarni.

Stavimo △ABC na △A₁B₁C₁, tako da tačka A padne na A₁ i da strana AC poklopi A₁C₁. Tada će zbog jednakosti ovih strana, tačka C pasti na C₁; zbog jednakosti uglova A i A₁ strana AB poklapa stranu A₁B₁, a usled njihove jednakosti tačka B pašće na B₁; onda će se poklopiti i strane CB i C₁B₁ (pošto dve tačke mogu da se spoje samo jednom pravom); trouglovi se poklapaju, znači da su oni podudarni.

2) Neka su ABC i A₁B₁C₁ (sl. 46) - dva trougla kod kojih:

∢C=∢C₁ i ∢B=∢B₁, CB=C₁B₁

Treba dokazati da su trouglovi podudarni. Stavimo △ABC na △A₁B₁C₁, tako da tačka C padne u C₁ i da strana CB poklopi C₁B₁. Tada će, zbog jednakosti ovih strana, tačka B pasti na B₁, a zbog jednakosti uglova B i B₁, C i C₁, strana BA poklapa B₁A₁ a strana CA - stranu C₁A₁.

Tačka A mora da padne na A₁ pošto se dve prave seku samo u jednoj tački; trouglovi se poklapaju i prema tome, oni su podudarni.

Napomena: Radi izvršenja poklapanja o kojima se govori u ovome odeljku često puta se pojavljuje potreba da se trougao, pre poklapanja, okrene na drugu stranu.

3) Neka su ABC i A₁B₁C₁ (sl. 47) - dva trougla kod kojih:

AB=A₁B₁, BC=B₁C₁ i CA=C₁A₁

Treba dokazati da su trouglovi podudarni.

Dokazivati ovo pravilo poklapanjem, kao što smo do sada radili, bilo bi nesigurno, pošto, ne znajući ništa o veličini uglova, ne bi smo mogli tvrditi da će se pri poklapanju dve jednake strane poklapati i treće strane.

Umesto poklapanja primenimo sastavljanje. Sastavimo trougao ABC sa trouglom A₁B₁C₁, tako da im se poklapaju jednake strane AC i A₁C₁. Tada će ABC doći u položaj A₁C₁B₂.

Spajanjem pravom tačaka B₁ i B₂ dobijamo dva ravnokraka trougla A₁B₁B₂ i B₁C₁B₂ sa zajedničkom osnovicom B₁B₂. Pošto su uglovi na osnovici u ravnokrakom trouglu jednaki, to ∢1=∢2 i ∢3=∢4, i prema tome ∢A₁B₁C₁=∢A₁B₂C₁=∢B.

Stoga su trouglovi podudarni pošto imaju jednake po dve strane i njima zahvaćene uglove ¹⁾.

Napomena: U podudarnim trouglovima naspram jednakih strana leže i jednaki uglovi, i obrnuto, naspram jednakih uglova leže i jednake strane.

Dokazane teoreme o podudarnosti trouglova kao i sposobnost raspoznavanja podudarnih trouglova prema navedenim pravilima u mnogome olakšavaju rešavanje velikog broja geometrijskih zadataka i neophodno su potrebne za dokazivanje mnogih teorema. Teoreme o podudarnosti trouglova služe kao glavno sredstvo u iznalaženju osobina složenih geometriskih oblika. U ovome će se učenici uveriti pri daljem proučavanju gradiva.

¹⁾ Da bi prava B₁B₂ uvek prolazila u unutrašnjosti slike A₁B₁C₁B₂ potrebno je da se trouglovi sastave tako, da njihova zajednička strana A₁C₁ bude najveća od trouglovih strana.