46. Teoreme. U svakom trouglu:
1) naspram jednakih strana leže i jednaki uglovi;
2) prema većoj strani leži veći ugao.
1) Trougao čije su dve strane jednake jeste ravnokraki. Tada će uglovi naspram jednakih strana biti jednaki kao uglovi na osnovici ravnokrakog trougla (§ 38).
2) Neka je u △ABC (sl. 52) strana AB veća od strane BC; dokazati da je ugao C veći od ugla A.
Prenesimo na stranu BA od tačke B duž BD jednaku manjoj strani BC i spojimo tačke C i D. Dobićemo ravnokraki trougao DBC u kome su uglovi na osnovici jednaki, tj. ∢BDC=∢BCD. Ali kako je ugao BDC, kao spoljašnji u △ADC, veći od ugla A, onda će i ugao BCD biti veći od ugla A; tim više će ugao BCA biti veći od ugla A.
47. Obrnute teoreme. U svakom trouglu:
1) naspram jednakih uglova leže i jednake strane;
2) prema većem uglu leži i veća strana.
1) Neka su u △ABC uglovi A i C jednaki (sl. 53); treba dokazati da BA=BC.
Pretpostavimo da strane AB i BC nisu jednake. Tada će jedna od njih biti veća od druge i po pravoj teoremi jedan od uglova A i C mora biti veći od drugoga. A ovo se kosi s pretpostavkom da je ∢A=∢C; znači, ne može se pretpostaviti da strane AB i BC nisu jednake; moramo zaključiti da AB=BC.
2) Neka je u △ABC (sl. 54) ugao C veći od ugla A; treba dokazati da je AB>BC.
Pretpostavimo da AB nije veće od BC. Tada mogu da nastanu dva slučaja: ili AB=BC, ili AB˂BC. U prvom slučaju na osnovu prave teoreme ugao C bio bi jednak uglu A, a u drugome - ugao C bio bi manji od ugla A; i jedno i drugo se kosi s pretpostavkom teoreme. Znači, oba slučaja otpadaju. Ostaje jedina mogućnost da je AB>BC.
Posledice:
1) U ravnostranom trouglu svi su uglovi jednaki.
2) U ravnouglom trouglu sve su strane jednake.
48. Indirektan dokaz. Dokaz koji smo malo pre primenili kod obrnutih teorema zove se indirektan dokaz ili dovođenje na apsurdan zaključak (reductio ad apsurdum). Dokaz se zove indirektan zato što se u početku pretpostavlja tvrđenje koje je protivno onome što ima da se dokaže. Na osnovu učinjene pretpostavke dolazi se do besmislenog zaključka. Naša pretpostavka kao netačna otpada i mora da se primi tvrđenje teoreme. Ovaj način često se primenjuje pri dokazivanju teorema.
49. Napomena o obrnutim teoremama. Početnici u izučavanju geometrije često puta padaju u jednu karakterističnu pogrešku. Smatraju da se tačnost obrnute teoreme sama po sebi razume ako je dokazana prava teorema. Odavde potiče mišljenje da je dokazivanje obrnutih teorema nepotrebno i suvišno. Pogrešnost takvog zaključka može da se dokaže na više primera. Takav jedan primer naveli smo u §30. Prema tome obrnute teoreme, kada su one tačne, moraju da se posebno dokazuju.