58. Osobine simetrale duži i simetrale ugla vrlo su slične među sobom. Da bi ova sličnost bila očiglednija, mi ćemo proučiti osobine uporedno.
Ako jedna tačka leži na simetrali duži (K, sl. 63), onda je ona podjednako udaljena od krajnjih tačaka duži (tj. KA=KB).
Pošto MN⊥AB i AO=OB, to su AK i KB dve kose duži čije su podnožne tačke podjednako udaljene od podnožja normale; znači KA=KB.
Obrnuta тeorema. Ako je jedna tačka (K, sl. 63) podjednako udaljena od krajnjih tačaka duži, ona mora da leži na simetrali duži.
Povučemo kroz tačku K pravu MN⊥AB; dobijemo dva podudarna trougla KAO i KBO pošto imaju zajedničku katetu i jednake hipotenuze; prema tome AO=OB. Znači, prava MN⊥AB polovi duž AB, tj. ona je njena simetrala.
Ako jedna tačka (K, sl. 64) leži na simetrali ugla, (OM), onda je ona podjednako udaljena od strana ugla, tj. KD=DC.
Pošto OM polovi ugao trouglovi OCK i ODK imaju jednake oštre uglove pri temenu O, a imaju i zajedničku hipotenuzu. Trouglovi su podudarni; znači, KC=KD.
Obrnuta teorema. Ako je jedna tačka (K, sl. 64) podjednako udaljena od strana ugla (tj. ako KC=KD), onda ona mora da leži na simetrali ugla.
Spajanjem tačaka O i K dobijemo dva podudarna pravougla trougla koji imaju zajedničku hipotenuzu i jednake katete CK i DK; tada će uglovi kod temena O biti jednaki, tj. OM je simetrala ugla.
59. Posledica. Iz ove dve teoreme (prave i obrnute) mogu da se izvedu sledeće suprotne teoreme:
Svaka mačka koja ne leži na simetrali duži nije podjednako udaljena od krajnjih tačaka duži.
Svaka tačka koja ne leži na simetrali ugla nije podjednako udaljena od strana toga ugla.
Neka učenici sami dokažu ove teoreme (upotrebiti indirektan dokaz).
60. Geometrijsko mesto. Linija ili površina u prostoru ili uopšte skup tačaka koji sadrži sve tačke iste osobine, a ne sadrži ni jednu tačku koja nema te osobine zove se geometrijsko mesto tačaka.
Na primer, kružna linija je geometrijsko mesto tačaka u ravni koje su podjednako udaljene od centra.
Iz teorema prethodnih paragrafa sleduje:
Simetrala duži je geometrijsko mesto tačaka u ravni podjednako udaljenih od krajnjih tačaka duži.
Simetrala ugla je geometrijsko mesto tačaka u ravni podjednako udaljenih od strana ugla.