Paralelne prave - Osnovne teoreme

Paralelnost pravih obeležava se znakom ∥. Ako su prave AB i CD paralelne, onda se piše: AB ∥ CD. 

Da paralelne prave postoje dokazuje sledeća teorema.

71. Teorema. Dve normale (AB i CD, sl. 72) na istoj pravoj MN ne mogu se seći ma koliko ih produžili.  Ako bi se ove normale sekle u nekoj tački R, onda bismo imali iz jedne tačke dve normale spuštene na pravu MN, što nemogućno (§ 24).

Prema tome, dve normale na jednoj pravoj su paralelne.

72. Uglovi koji se dobijaju kad se dve prave preseku trećom. Neka su dve prave AB i CD (sl. 73) presečene trećom pravom MB. Dobili smo četiri para uglova (obeležili smo ih ciframa) koji se zovu:

• saglasni uglovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

• naizmenični uglovi: 3 i 5, 4 i 6 (unutrašnji); 1 i 7, 2 i 8 (spoljašnji);

• suprotni uglovi: 4 i 5, 3 i 6 (unutrašnji); 1 i 8, 2 i 7 (spoljašnji).

73. Uslovi paralelnosti dve prave. Ako su dve prave (AB i CD, sl. 74) presečene trećom (MN) i ako su pri tome:

1. saglasni uglovi jednaki, ili

2. naizmenični uglovi jednaki, ili

3. zbir dva unutrašnja ili dva spoljašnja suprotna ugla iznosi 2d, onda su prave paralelne.

Neka je, na primer, dato da su saglasni uglovi 2 i 6 jednaki; dokazati da je AB∥CD.

Pretpostavimo da prave nisu paralelne i da se seku u jednoj tački r desno od MN, ili u tački r' levo od MN. Ako se seku u r, onda se dobija trougao u kome su ugao 2 spoljašnji a ugao 6 unutrašnji, nenalegli uglu 2; prema tome ugao 2 treba da bude veći od ugla 6 (§ 44), što se kosi sa pretpostavkom; znači, prave AB i CD ne mogu da se seku u tački r desno od prave MN.

Ako pretpostavimo da se prave seku u tački p', tada dobijamo trougao u kome će ugao 4, jednak uglu 2, biti unutrašnji a ugao 6 spoljašnji, nenalegli sa uglom 4; ugao 6 trebalo bi da bude veći od ugla 4 odnosno ugla 2, što je nemoguće. Znači, prave AB i CD ne mogu da se seku ni u tački p' levo od MN; one su paralelne.

Na isti način se dokazuje da AB || CD ako ∢1=∢5, ili ∢3=∢7 itd.

Neka je još dato da ∢4+∢5=2d. Tada se mora zaključiti da je ∢4=∢6, pošto zbir ugla 6 s uglom 5 iznosi takođe 2d. Ali ako su ∢4 i ∢6 jednaki, onda se prave ne mogu seći; u protivnom slučaju uglovi 4 i 6 ne bi bili jednaki (jedan bi bio spoljašnji a drugi nenalegli unutrašnji).

74. Zadatak. Kroz datu tačku M povući pravu paralelnu datoj pravoj.

Najprostije rešenje ovoga zadatka sastoji se u ovome: proizvoljnim otvorom šestara iz tačke M opišimo luk CD i istim otvorom iz tačke C luk ME; zatim iz tačke C otvorom šestara jednakim otstojanju E do M opisujemo luk koji seče CD u tački F. Prava MF je paralelna AB.

Dokaza radi povucimo pravu MC; uglovi 1 i 2 su jednaki po konstrukciji (jer su trouglovi EMC i MCF podudarni), prema tome prave su paralelne.

Za povlačenje paralelnih može zgodno da posluži lenjir i trougaonik, kao što se to vidi iz slike 76.

75. Aksioma paralelnih pravih. Kroz jednu tačku ne mogu se povući dve prave paralelne datoj pravoj. Ako je (sl. 77) CE||AB, onda nikakva druga prava CE1, povučena kroz tačku C, neće biti paralelna AB, tj. CE1 seče pravu AB. Dokazati ovaj stav, tj. izvesti ga kao posledicu poznatih od ranije aksioma, nije mogućno. Prema tome on mora da se primi kao nova aksioma (postulat)

76. Posledice. 

1. Ako neka prava CE1 (sl. 77) seče jednu od paralelnih pravih AB i CE, onda će ona seći i drugu. 

   U protivnom slučaju kroz jednu tačku C mogle bi se povući dve prave CE1, paralelne sa AB, što je nemogućno.

2. Dve prave A i B paralelne trećoj pravoj C paralelne su među sobom (sl. 78).

   Ako bismo pretpostavili da se prave A i B seku u nekoj tački M, onda bismo imali dve prave koje prolaze kroz tu tačku paralelno pravoj C, što je nemogućno.

77. O uglovima koji se dobijaju kada se dve paralelne prave preseku trećom.

Teorema (obrnuta teorema, § 73). Ako su dve paralelne prave (AB i CD, sl. 79) presečene trećom (MN), onda:

1. saglasni uglovi su jednaki;

2. naizmenični uglovi su jednaki;

3. zbir unutrašnjih suprotnih uglova iznosi 2d;

4. zbir spoljašnjih suprotnih uglova iznosi 2d;

Primera radi dokažimo da su saglasni uglovi a i b jednaki, ako je AB||CD.

Pretpostavimo da ovi uglovi nisu jednaki (na primer, neka ∢a>∢b. Konstruišimo ∢MEB1=∢b; dobićemo pravu A1B1 koja se ne poklapa sa AB i na taj način ćemo imati dve prave povučene kroz tačku E paralelno CD i to: AB||CD prema pogodbi i A1B1||CD zbog jednakosti saglasnih uglova b i MEB1; a ovo bi se kosilo s aksiomom o paralelnim pravama. Naša pretpostavka da uglovi a i b nisu jednaki otpada.

Isto tako mogu se dokazati i drugi zaključci ove teoreme. Kao neposrednu posledicu dobijamo teoremu:

Prava normalna na jednoj od paralelnih pravih biće normalna i na drugoj. Ako AB||CD (sl. 80) i ME⊥AB, onda prava ME seče i pravu CD u nekoj tački F; dobijeni saglasni uglovi a i b su jednaki. A pošto je ugao a prav, onda će i ugao b biti prav, tj. ME⊥CD.

78. Uslovi neparalelnosti pravih. Iz prave (§ 73) i obrnute teoreme (§77) može da se zaključi da su tačne i suprotne teoreme: ako su dve prave presečene trećom i dobijeni saglasni ili naizmenični uglovi nisu jednaki, onda prave nisu paralelne; ako su dve paralelne prave presečene trećom, onda: 

1) saglasni uglovi nisu jednaki; 

2) naizmenični uglovi nisu jednaki itd.

Od ovih pravila o neparalelnosti pravih (koji se lako konstatuju pomoću indirektnog dokaza) treba obratiti naročit pažnju na sledeće: Ako zbir dva unutrašnja suprotna ugla (a i b, sl. 81) ne iznosi 2d, onda se prave AB i CD seku. Kad se ne bi sekle, tj. bile paralelne, onda bi zbir uglova iznosio 2d, što se kosi sa pretpostavkom.

Ovaj stav (sa dopunom da se prave seku s one strane sečice gde je zbir suprotnih uglova manji od 2d) formulisao je čuveni grčki geometar Euklid (živeo u III veku pre naše ere) u svojim "Elementima" geometrije kao aksiomu paralelnih pravih. Aksioma je poznata pod imenom: „Euklidov postulat“.

Savremena geometrija kao Euklidov postulat smatra stav izražen u§ 75.

Ispitajmo još dva pravila paralelnosti pravih, kojima ćemo se služiti docnije:

1. Normala (AB, sl. 82) i kosa prava (CD prema jednoj pravoj (EF) moraju da se seku, pošto zbir unutrašnjih suprotnih uglova 1 i 2 nije jednak 2d.

2. Dve prave (AB i CD, sl. 83), normalne prema dvema pravama koje se seku (EF i FG), takođe se seku. Ako pretpostavimo da AB||CD, onda bi prava FD, koja stoji normalno na CD bila normalna na AB; kroz tačku F imali bismo prema pravoj AB dve normale FB i FD, što je nemogućno.