92. Pravougaonik i njegove osobine. Ako paralelogram ima jedan prav ugao, onda su mu svi uglovi pravi (§ 88). Takav se paralelogram zove pravougaonik.
Pravougaonik kao paralelogram ima sve paralelogramove osobine; na primer, dijagonale se polove, a njihova presečna tačka je centar simetrije. Ali pravougaonik ima i druge osobine.
U pravougaoniku dijagonale su jednake (ABCD, sl. 101).
Pravougli trouglovi ACD i ABD su podudarni pošto im je AD zajednička kateta a AB=CD (kao suprotne strane u paralelogramu). Iz podudarnosti sleduje: AC=BD.
Pravougaonik ima dve osovine simetrije.
Svaka prava povučena kroz centar simetrije paralelno dvema suprotnim stranama je pravougaonikova osovina simetrije. Osovine simetrije su uzajamno normalne (sl. 102).
92. Romb i njegove osobine. Paralelogram sa jednakim stranama zove se romb. Naravno da mu pripadaju sve osobine paralelograma, ali on ima i dve svoje osobine.
Dijagonale romba (ABCD, sl. 103) uzajamno su normalne i polove uglove.
Trouglovi ABD i BOC su podudarni pošto im je BO zajednička strana, AB=BC i AO=OC. Iz podudarnosti sleduje: ∢1=∢2, tj. BD⊥AC i ∢3=∢4, tj. da dijagonala polovi ugao B. Iz podudarnosti trouglova BOC i COD sleduje da dijagonala polovi ugao C itd.
Svaka dijagonala romba je njegova osovina simetrije.
Dijagonala BD (sl. 104) je osovina simetrije jer se trougao ABD obrtanjem oko BD može dovesti do poklapanja s trouglom BCD, pošto dijagonala BD polovi uglove B i D a, sem toga, AB=BC i AD=CD.
To isto može da se kaže i za dijagonalu AC.
94. Kvadrat i njegove osobine. Kvadrat je paralelogram čije su sve strane i uglovi jednaki. Može se reći da je kvadrat pravougaonik sa jednakim stranama ili romb sa pravim uglovima Stoga kvadratu pripadaju sve osobine paralelograma, pravougaonika i romba. Na primer, kvadrat ima četiri osovine simetrije (sl. 105): dve prolaze kroz sredine suprotnih strana (kao kod pravougaonika) i dve koje prolaze kroz temena suprotnih uglova (kao kod romba).
Teoreme koje se osnivaju na osobinama paralelograma.
95. Teorema. Ako se na jednu stranu ugla (na primer na stranu BC ugla ABC, sl. 106) prenesu jednake među sobom duži (DE=EF=...) i kroz njihove krajnje tačke povuku paralelne prave (DM, EN, FP...) do preseka c drugom stranom ugla, onda će se i na toj strani dobiši jednake duži (MN=NP= ...).
Povucimo pomoćne prave DK i EL paralelne AB. Dobijeni trouglovi DKE i ELF jesu podudarni, jer im je DE=EF, ∢KDE=∢LFE i ∢KED=∢LFE (kao saglasni). Iz podudarnosti trouglova sleduje: DK=EL. Ali DK=MN i EL=NP (kao suprotne strane u paralelogramu); prema tome MN=NP.
Napomena. Jednake duži mogu da se prenesu i od temena ugla B; na primer, BD=DE=EF=... Tada i na drugoj strani jednake duži treba računati od temena ugla, tj. BM=MN=NP= ...
96. Posledica. Prava (DE, sl. 107) povučena kroz sredinu strane (AB) u trouglu paralelno drugoj strani (AC) polovi treću trouglovu stranu (BC).
Kao što vidimo, na strani ugla B uzete su jednake duži BD=DA i kroz deone tačke D i A povučene su paralelne prave DE i AC do preseka sa stranom BC; znači, na osnovu prethodne teoreme, na ovoj strani dobiće se jednake duži BE=EC i stoga tačka E polovi BC.
Napomena. Duž koja spaja sredine dveju trouglovih strana zove se srednja linija.
97. Teorema (koja iskazuje osobinu srednje linije u trouglu). Prava (DE, sl. 107), povučena kroz sredine dveju trouglovih strana (tj. srednja linija u trouglu ABC), paralelna je trećoj strani, a njen odsečak koji leži u unutrašnjosti trougla jednak je polovini treće strane.
Zamislimo da smo kroz sredinu D strane AB povukli pravu paralelnu strani AC. Tada će ova prava, na osnovu prethodnog paragrafa, prepoloviti stranu BC i na taj način će se potpuno poklopiti s pravom DE koja spaja sredine strana AB i BC. Povucimo još EF||AD, naći ćemo da će i strana AC biti prepolovljene tačkom F; prema tome AF=FC, a pošto je AF=DE (kao suprotne strane u paralelogramu ADEF), onda je DE=½ AC.